Обучение

Как найти периметр прямоугольника

5669
1
0

Периметр – это сумма длин всех сторон у любой плоской фигуры. Это одно из базовых понятий геометрии, которое начинают изучать во 2 классе начальной школы, а продолжают использовать вплоть до 11 класса. Нередки случаи включения задач на вычисление периметра в задания ВПР (Всероссийских проверочных работ), ОГЭ и ЕГЭ. В этой статье мы объясним, как считается периметр прямоугольника, дадим примеры задач и расскажем, как это может пригодиться в жизни.

Что такое прямоугольник

Что такое прямоугольник
Прямоугольник - это четырёхугольник, у которого все углы равные и прямые. Фото: Shutterstock / FOTODOM

Прежде чем изучать периметр прямоугольника, надо для начала разобраться, что такое этот «прямоугольник».

Так вот, это четырёхугольник, у которого все углы равные и прямые, то есть по 90 градусов. Правильным прямоугольником является квадрат, а правильный он потому, что все стороны равны. У прямоугольника все стороны попарно параллельны, а это значит, что любой прямоугольник – параллелограмм.

Как понять, что выпуклый четырёхугольник является прямоугольником:

  1. Если у параллелограмма хотя бы один угол равен 90 градусов, то он прямоугольник.
  2. Если у параллелограмма равны диагонали, то этот параллелограмм является прямоугольником.
  3. Если параллелограмм диагонали делят на два равных и прямоугольных треугольника, то этот параллелограмм – прямоугольник
  4. Если у четырёхугольника 4 угла и все равны 90 градусов и стороны попарно равны и параллельны, то этот четырёхугольник – прямоугольник.

Свойства прямоугольника

Теперь нам необходимо разобраться со свойствами прямоугольника, так как из них мы потом получим различные формулы расчёта периметра или площади.

  1. Равенство противоположных сторон. Одно из важнейших свойств прямоугольника, которое напрямую влияет на вид формулы периметра фигуры.
  2. Каждый угол прямой. Это свойство исходит из определения прямоугольника.
  3. Равенство диагоналей. У прямоугольника равны диагонали, это прямые, соединяющие несмежные вершины геометрической фигуры
  4. Диагонали делят друг друга пополам. Это свойство распространяется на все прямоугольники, в том числе и на квадрат. Точка, в которой пересекутся две диагонали, поделит их пополам.
  5. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Поскольку сумма противоположных углов в прямоугольнике даёт 180 градусов (так как каждый угол по 90 градусов), то вокруг него можно будет описать окружность с центром в точке пересечения диагоналей. Радиусом будет являться половина диагонали. 
  6. Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Это происходит из-за того, что в вершине получившегося треугольника будет угол, равный 90 градусам.

Каждое из этих свойств распространяется на все из существующих прямоугольников. Благодаря этим свойствам появляются различные формулы нахождения площади и периметра.

Формулы вычисления периметра прямоугольника

Как найти периметр прямоугольника
Для каждой из фигур формулы вычисления периметра будут различные в зависимости от их свойств. Фото: Shutterstock / FOTODOM

Вообще, периметр – это суммарная длина границ фигуры, если говорить простыми словами, то это сумма длин всех сторон геометрической фигуры. Общая формула вычисления периметра выглядит следующим образом:

Площадь и периметр являются базовыми понятиями геометрии, очень часто в начале обучения дети путают их друг с другом.

Разница между площадью и периметром заключается в следующем: периметр – длина внешних граней фигуры, измеряется она в метрах, сантиметрах, дециметрах и так далее, площадь же – это область пространства внутри любой фигуры, которая измеряется в квадратных метрах, квадратных сантиметрах и квадратных дециметрах.

Для каждой из фигур формулы вычисления периметра будут различные в зависимости от их свойств. В нашем случае у прямоугольника будут следующие формулы вычисления периметра:

1. P = 2 (a + b), где a – длина прямоугольника, а b – ширина.

Эта формула периметра исходит из свойства прямоугольника о равенстве противоположных сторон, поэтому изначальная формула с суммами длин всех сторон преобразуется в такую, где просто выносится общий множитель.

где a – сторона прямоугольника, а s – площадь прямоугольника.

Эта формула полезна, когда в задаче указана только одна сторона прямоугольника и его площадь. В данном случае мы фактически ищем сторону b через площадь, так как площадь прямоугольника – это произведение сторон.

где a – сторона прямоугольника, а d – диагональ прямоугольника

Эта формула используется в решении задач, где у прямоугольника известна диагональ и сторона. Фактически в этой задаче мы с помощью теоремы Пифагора ищем недостающую сторону b, а уже потом по классической формуле ищем периметр.

где a – сторона прямоугольника, а R – радиус описанной окружности вокруг прямоугольника.

В этой формуле – всё по той же теореме Пифагора: сначала с помощью радиуса описанной окружности находим диаметр прямоугольника, затем выражаем корень из разности диаметра и стороны и получаем вторую недостающую сторону. После чего по классической формуле ищем периметр.

С помощью этих формул вы можете решать задачи и самые лёгкие, и даже самые сложные. Также эти формулы помогут найти площади различных прямоугольников, а ещё они все применимы к квадрату – правильному четырёхугольнику.

Бывает такое, что фигура непростая – составная или сложная. Для того чтобы найти периметр составной фигуры, нам понадобится сложить длины его границ. Подобные задания очень часто встречаются не только в учебных материалах начальной школы, но и в вариантах ВПР и ОГЭ.

Примеры задач

Задачи на периметр прямоугольника
Благодаря свойствам прямоугольника появляются различные формулы нахождения площади и периметра. Фото: Shutterstock / FOTODOM

Мы рассмотрим типы задач специально для каждой написанной нами выше формулы, чтобы вам было легче разобраться в данном материале.

Задача №1

Необходимо посчитать периметр прямоугольной площадки перед домом, чтобы понять, какое количество заборчика необходимо купить рабочим. Известно, что ширина площадки 3 метра, а длина 7 метров.

Алгоритм:

Для начала, как и в любой другой задаче, мы должны записать, что нам дано и что требуется найти, затем, если нужно, перевести единицы измерения в систему СИ, затем приступаем к решению, а в конце уже пишем ответ.

Как это должно выглядеть в тетради:

Дано: a = 3 м; b = 7 м

Найти: P – ?

Решение: P = 2 (a + b) 

– по свойству прямоугольника о равенстве противоположных сторон.

Pплощадки = 2 (3 + 7) = 20 м

Ответ: Pплощадки = 20 м – периметр площадки составляет 20 метров.

Последующие задачи необходимо решать по такому же алгоритму действий, чтобы не наделать лишних ошибок.

Задача №2

Для того чтобы положить плинтуса в комнате Вани, его папе нужно найти периметр комнаты. Он знает, что площадь комнаты составляет 20 квадратных метров, а длина одной стороны равна 5 метров.

Дано: S = 20 м2, a = 5 м

Найти: Pкомнаты – ?

Решение:

 – по формуле нахождения площади прямоугольника и свойству равенства противоположных сторон

Ответ: Pкомнаты = 18 м – составляет периметр комнаты.

Задача №3

Необходимо посчитать периметр прямоугольника, известно, что его диагональ составляет 30 метров, а одна из сторон – 6 метров.

Дано: a = 6 м, d = 30 м

Найти: Pпрямоугольника – ?

Решение:

– по теореме Пифагора и свойству равенства противоположных сторон прямоугольника

Ответ: Pпрямоугольника = 70,79 м

Задача №4

Вокруг старой прямоугольной клумбы сделали большую круглую песочницу радиусом 2 метра, известно, что одна из сторон бывшей клумбы составляла 50 см. Найдите периметр клумбы.

Дано: a = 50 см, R = 2 м

Найти: Pклумбы – ?

Решение:

– по свойству описанной вокруг прямоугольника окружности и равенства противоположных сторон.

Ответ: Pклумбы = 32,98 м

Зачем нужно знать, как считается периметр

В принципе, геометрия – одна из тех наук, которые мы изучаем ещё с начальной школы и которая очень часто пригождается в реальной жизни.

Знание периметра поможет во многих областях, но особенно в строительном деле: нахождение длин ограждений и заборов, нахождение периметра и площади используется для заливки фундамента или для определения размера того или иного здания; в кулинарии: с помощью периметра находят размер пиццы, пирогов или размер форм для приготовления сдобных изделий; в картографии: здесь же периметр используют, очевидно, для нахождения расстояний от одного объекта до другого и, как следствие, для ориентирования на местности; в шитье, чтобы понять, какое количество ткани понадобится на одно или несколько изделий.

В общем, почти в каждой сфере деятельности – от архитектуры до кулинарии – используется понятие периметра.

Фото на анонс: popcorner / Shutterstock / FOTODOM
1
Ещё по теме
Есть вопросы или хотите обсудить данную тему?
Напишите все, что вас интересует в комментариях
Комментарии 0